Exemple de groupe quotient

Les cosets de Z dans R sont tous les ensembles de la forme a + Z, avec 0 ≤ a < 1 un nombre réel. Notez que $ (mathbb{Z}, +) $ est un groupe abélien puisque pour tous les entiers $a, b Dans mathbb{Z} $, $a + b = b + a $. Tout d`abord, Let $ (G, *) $ être n`importe quel groupe. La normalité de N est utilisée dans cette équation. Plus précisément, l`ensemble est défini comme l`ensemble de classes d`équivalence où deux éléments sont considérés comme équivalents si les cosets et sont les mêmes. Étant donné que $G/G $ contient un seul élément est doit être isomorphe au sous-groupe trivial $ ( {e }, *) $. Les trois théorases de l`isomorphisme fondamental impliquent tous des groupes de quotient. Eh bien, j`espère que c`était un peu utile! Supposons maintenant que nous devions collecter les résultats de l`enquête et trier les éléments de $G $ en fonction de leurs réponses. Bon maintenant, je vois ya`ll qui sont "pas même proche" (NEC) à répondre aux exigences de l`appartenance à $N $ ont déjà blottis ensemble. Puis est le groupe additif d`entiers modulo ainsi, la construction de groupe de quotient peut être considérée comme une généralisation de l`arithmétique modulaire à des groupes arbitraires. Ecoutez, est-ce que ceux d`entre vous qui ont répondu "Oui" à la question #1 s`il vous plaît levez la main? Comme Z4 est différent de Z2 × Z2, nous concluons que G n`est pas un produit semi-direct de N et de G/N. Salut, Merci d`avoir attendu. Il n`y a que deux cosets: l`ensemble des entiers paires et l`ensemble des entiers impairs; par conséquent, le groupe de quotient Z/2Z est le groupe cyclique avec deux éléments.

Par exemple, le groupe cyclique d`addition modulo n peut être obtenu à partir des entiers en identifiant des éléments qui diffèrent par un multiple de n et définissant une structure de groupe qui opère sur chacune de ces classes (appelée classe de congruence) en tant qu`entité unique. Ça va bien? Tout va bien, les amis. Bien sûr, tout le monde dans $ {ldots,-10,-5, 0, 5, 10, ldots} $ est un multiple de 5. Le quotient Z/nZ peut être considéré comme le groupe des «restes» modulo n. Remarquez que si $G $ est abélien, alors nous écrivons $b ^ {-1} a $ comme $-b + a $, i. Considérez le groupe abélien Z4 = Z/4Z (c`est-à-dire, le set {0, 1, 2, 3} avec l`addition modulo 4) et son sous-groupe {0,2}. Appelez ce groupe (pour le cercle unitaire). Pour un autre exemple, considérez le sous-groupe $ (G, *) $, i. Et le processus réel de création des piles est ce que l`on appelle “l`homomorphisme de projection naturelle” $ Phi: gto G/N $ fait lorsqu`il envoie un élément $g $ au QF $GN $.

Il existe une correspondance bijective entre les sous-groupes de G qui contiennent N et les sous-groupes de G/N; Si H est un sous-groupe de G contenant N, le sous-groupe correspondant de G/N est π (H). Bien sûr, tu peux te tenir dans ce coin. Donc, nous pouvons prendre le quotient de $G $ par $ {e } $. Remarquez qu`il n`y a qu`une seule façon de satisfaire #1—vous appartenez simplement à $N $—mais en général, il peut y avoir plusieurs façons de satisfaire #2, i. Depuis n`est pas normal, il n`hérite pas de la structure de groupe de; en d`autres termes, le produit de deux représentants de QF atterira dans un QF qui n`est pas indépendant du choix des représentants. Sujets en algèbre, 2e éd. Salut les gens. Ici, nous avons utilisé d`une manière importante que N est un sous-groupe normal. Cela donne une fonction c`est un homomorphisme (essentiellement tautologiquement, puisque l`opération de groupe des deux côtés est juste la composition des fonctions). Ecoutez, nous ne nous soucions plus de vous individuellement-ya`ll sont tous indistinuissable pour nous. Fantastique, Salut. Et comme il ya quatre réponses possibles—soit il est éteint par 1 ou 2 ou 3 ou 4—nous obtenons quatre cosets non-trivial.

Les deux sous-groupes {0,2} et le groupe quotient {{0, 2}, {1,3}} sont isomorphes avec Z2. Pour un sous-groupe de lie non normal N, l`espace G/N des cosets de gauche n`est pas un groupe, mais simplement un collecteur différable sur lequel G agit.